Multiplicação de frações

Como já sabemos, fração tem como objetivo representar uma parte do inteiro.

Vamos estudar um pouco sobre multiplicação de frações, dentre as operações com frações a multiplicação é a operação mais simples e fáscio, pois não precisa de m.m.c e nem a regra que se aplica a divisão, (onde repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração).

Então na multiplicação de frações há apenas uma regra a ser seguida que é, multiplica-se os numeradores entre si e da mesma forma os denominadores.

Note que neste três exemplos não teve como fazer uma simplificação dos resultados, pois se fosse feito dariam números decimais, por tanto quando não da mais para simplificar podemos deixa-los dessa forma.

Termo geral da multiplicação de frações: 

ab×cd=a×cb×d, com a e c ∈ N, b e d ∈ N^*

Observação: N* significa todos os naturais com exceção do número zero.


Atividades:


 









Exercícios

Divisão de frações

Todas as frações tem um único objetivo representar partes de um inteiro, exemplo: Uma pizza com dez pedaços iguais e foram dados apenas seis desses pedaços então sua representação seria dessa forma, 6 / 10, o numerador sera o número 6 e denominador o número 10.

Vamos abordar agora a divisão de frações: Dentro da divisão ha uma regra que é de fácil aprendizagem, em uma divisão de frações devemos conservar a primeira fração e multiplicarmos pelo o inverso da segunda fração.

O termo geral é:

ab÷cd=ab×dc=a×db×c, com a, b, c e d ∈ N^*

                                                                  Exemplo:

                               Exercícios

Soma com frações

Fração é uma ou mais parcelas de um todo, são as partes da qual esse todo foi divido, há dois casos a ser explorados.

Primeiro caso: Quando os denominadores são iguais, conserva-se o denominador e soma os numeradores.

Exemplo:

32+52=3+52=82=4


Segundo caso: Quando os denominadores são diferentes, precisa - se encontrar uma fração equivalente, ou seja que possuam o mesmo denominadores.

Exemplo:

10 + 12 – 3
 4      5     6

Note que temos que  igualhar os denominadores, para isso precisamos calcular o m.m.c (minimo múltiplo comum).

4,5,6| 2
2,5,3| 2
1,5,3| 3
1,5,1| 5 

1,1,1| 60 

Depois de termos encontrado o m.m.c de ( 4,5,6), temos.

10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30
 4     5      6      60      60    60

Observe, que os numeradores foram encontrados a partir da divisão do m.m.c = 60  por cada denominador respectivamente  (4,5,6) e multiplicando respectivamente pelos numeradores (10,12, -3).

10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30 = 150 + 144 – 30 = 264
 4      5     6      60      60    60               60               60 

Exercícios 

Lista de exercícios

MMC

Dentro da matemática ( aritmética ), o minimo múltiplo comum, conhecido como ( m.m.c ) , para dois números inteiros quais quer X e Y, o menor inteiro positivo deve ser obrigatoriamente múltiplo aos números X e Y. Se essa condição não existir, se X = 0 e Y = 0, então por definição o m.m.c de X e Y é igual a 0.

Exemplo:

PROPRIEDADES

1- Se os números forem primos seu m.m.c sera o produto entre esses números

Exemplos: o m.m.c de 1 e 2 será 2, pois 2 x 1 = 2 

                  o m.m.c de 5 e 7 será 35, pois 5 x 7 = 35

lembre -se, que números primos são os números que possuem apenas dois divisores, o número 1 e ele mesmo.

2- Se for o caso em que o número maior for divisível pelo número menor o m.m.c será o maior deles.

Exemplo: considere os números 6 e 3, logo o m.m.c será igual a 6, pois o número 6 pode ser dividido pelo número 3, que resulta em uma divisão exata.

Resolva os exercícios:

m.m.c (3, 4, 6)

m.m.c (2, 4, 8)

m.m.c (3, 6, 9)

m.m.c (4, 8, 10)

m.m.c (6, 12, 15)

m.m.c (6, 15, 18)

m.m.c (8, 12, 20)

m.m.c (9, 15, 27)

m.m.c (12, 16, 24)

m.m.c (12, 15, 21)

m.m.c (20, 25, 40)

m.m.c (16, 32, 48)

m.m.c (12, 32, 48)

m.m.c (35, 50, 70, 100)

(Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?

a) 12

b) 10

c) 20

d) 15

e) 30

Divisão

Dentro da matemática a divisão é uma operação inversa da multiplicação, na divisão para que se possa ter um sentido, é necessário que um elemento do conjunto quando feito a divisão, ao fazermos sua operação inversas ou seja a multiplicação por um número " x ", resulte em uma função bijetora.

Os sinais que se representa uma divisão pose ser: 

( : ) 

( / )

( __ )

( ÷ )

Elementos ou fatore de uma divisão

Exemplo:

49  ÷  6 = 8 ( essa divisão tem resto 1 )

Onde, 49 é o dividendo, 6 é o divisor, 8 é o quociente e o 1 é o resto, pois a nessa divisão não resultou em um número exato, quando isso acontece o resto é igual a zero.

Exemplo: 

100 ÷  10 = 10, pois se fizermos 10 x 10 = 100, note que é exato, portanto na divisão o resto será zero.

PROPRIEDADES:

Não é comutativa, pois na divisão a ordem dos fatores alteram o resultado 

Exemplos:

45 ÷  5 = 9 diferente se colocarmos 5 ÷  45 = 0, 111...

Não é associativa

exemplos: 

( 25 ÷  5 ) ÷  5 = 1 diferente de ( 5 ÷  5 ) ÷  25 = 0,04

Fechamento, essa propriedade não satisfaz dentro da divisão, pois um número dividido por outro número tem que resultar em número real, note que o zero também é um numero, mais dendro de uma divisão não resulta em número real. 

Elemento neutro

Dentro da visão o numeral 1 é chama do de elemento neutro pois qualquer número " A " dividido por 1 sera sempre esse numero " A ".

Exemplos:

2 ÷  1 = 2, lembre - se da operação inversa da divisão que é a multiplicação, então fica 2 x 1 = 2

5 ÷  1 = 5

100 ÷  1 = 100

1547 ÷  1 = 1547, pela mesma propriedade.

Anulação 

Dentro da divisão o número ( 0 ) anula qualquer número real

exemplos:

5 ÷  0 = 0

1587 ÷  0 = 0

Casos particulares dentro da divisão 

Todo número dividido por ele mesmo resultara nele mesmo.

7 ÷  1 = 7 

55 ÷  1 = 55

Todo e qualquer número dividido por ele mesmo resultara em 1

4444 ÷  4444 = 1

2645646 ÷  2645646 = 1

Todo e qualquer número dividido por ( 0 ) seu resultado será igual a ( 0 )

4444 ÷  0 = 0 

5 ÷  0 = 0


Função bijetora

Multiplicação

Na matemática a multiplicação é uma operação binaria e uma forma simples de adicionar uma quantidade finita de números, a multiplicação faz parte das quatro operações básicas da matemática, onde os números dentro da operação recebem os seguintes nomes, coeficientes ou operandos, cada um individualmente recebe um nome, multiplicando e multiplicador. O sinal que representa uma multiplicação é " x " e ". "


Exemplos:



3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12

2 x 10 = 10 + 10 = 20

PROPRIEDADES:

Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado ou produto, logo 2 x 4 = 8 ou 4 x 2 = 8
Associatividade: O agrupamento dos fatores não alteram o produto ( 3 x 4 ) x 2 = ( 2 x 3 ) x 4 = 24
Distributividade: Um fator dentro de uma soma quando ele é colocado em evidência o resultado da soma sera feito depois de resolvido os produtos, 2 x ( 7 + 8 ) = 2 x 7 + 2 x 8 = 30
Elemento neutro: Diferente da soma e subtração o qual o elemento neutro é o zero, na multiplicação esse elemento neutro será o número " 1 ", logo, 1 x 3 = 3 ; 1000 x 1 = 1000
Elemento opositor: O fator -1 ( meno um ), transforma esse produto em simétrico, logo temos -1 x A = -A e -1 x B = -B com A diferente de  B  
Fechamento: O produto de um número real é sempre um número real
Anulação: Se qualquer número ( X, Y, Z ), quando multiplicado pelo fator " 0 ", o produto será nulo

Comutatividade da multiplicação de números naturais






tomando n = y, temos






Distributividade da multiplicação de números naturais 






NOTAÇÕES:

5 x 2 = 10

5 . 2 = 10 

5 * 2 = 10